Problem Çözelim






PROBLEMLER

Denklem Kurma Problemleri

Örnek: Bir sayının 2 eksiğinin 3 katı 15’dir.Bu sayı kaçtır?

(x-2).3=15

Her iki tarafı 3’e böleriz

x-2=5 olur.-2 diğer tarafa +2 geçer.

x=5+2

x=7

Örnek: Bir sayının 3 katının 2 eksiği 13’tür.Bu sayı kaçtır?

3.x-2=13

-2 diğer tarafa +2 geçer.

3x=13+2

3x=15 her iki taraf 3’e bölünür.

x=5



Yaş Problemleri

Bir kişinin bugünkü yaşı a ise

x yıl sonraki yaşı a+x olur.

x yıl önceki yaşı a-x olur.

n kişinin bugünkü yaşları toplamı a ise

x yıl sonraki yaşları toplamı a+x.n olur.

x yıl önceki yaşları toplamı a-x.n olur.

İki kişinin bugünkü yaşları farkı a-b ise

x yıl sonraki yaşları farkı a-b olur.

x yıl önceki yaşları farkı a-b olur.

n kişinin bugünkü yaşları toplamı a ise

x yıl sonraki yaşlarının ortalaması: (a+n.x)/n olur.

x yıl önceki yaşlarının ortalaması: (a-n.x)/n olur.

Örnek: Bir babanın yaşı 34,oğlunun yaşı 8’dir.Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?

Baba=34

Oğlu=8

Aradan x yıl geçsin.

34+x ve 8+x olur.Babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacağından

34+x=3.(8+x)

34+x=24+3x olur.x sağ tarafa 24 sol tarafa atlıyacak.Geçişlerde işaret değişir.

34-24=3x-x

10=2x buradanda her iki taraf  2’ye bölünür.

5=x yani 5 yıl sonra

Örnek: Bir annenin yaşı,kızının yaşının 3 katına eşittir.Kızı annesinin yaşına geldiğinde annesi 55 yaşında olacaktır.Buna göre anne ile kızının bugünkü yaşları toplamı kaçtır?

Bugün anne=3x yaşındayken kızı=x yaşında olur.

Anne=55 olduğunda kızı=3x oluyor.

Yaş farkı daima sabit olduğundan

55-3x=3x-x (-3x diğer tarafa geçer.)

55=3x+3x-x

55=5x çıkar.Her iki tarafı 5’e bölersek x=11 olur.

Kız=11 anne=33

Bugünkü yaşlar toplamı=11+33=44

Yüzde Problemleri

%A=A/100

Bir sayının yüzde A’sı=x.(A/100)

Bir sayının yüzde A fazlası=x+x.(A/100)

Bir sayının yüzde A eksiği=x-x.(A/100)

Bir sayının yüzde A’sı ile yüzde B’sinin toplamı =x.(A/100)+ x.(B/100)

Bir sayının yüzde A’sı ile yüzde B’sinin farkı =x.(A/100)- x.(B/100)

Örnek: Hangi sayının yüzde 20’si 0,08’dir?

Sayı x olsun.

Sayının yüzde 20’si = (20/100).x

(20/100).x=0,08

(20x/100)=(8/100)

20x=8 her iki tarafı 20’ye bölersek x=0,4 çıkar.

Örnek: 60 sayısının yüzde 5’i kaçtır?

60.(5/100) deriz.

(60.5)/100=300/100=3 olur.

Kar-Zarar Problemleri

Alış (maliyet) fiyatı= A

Satış (etiket) fiyatı= S

Kar oranı=K

Zarar oranı=Z

1) Yüzde x kar ile satış

Satış fiyatı=Alış fiyatı + Kar

S=A+K ise S=A+[(A.x)/100]

2) Yüzde x zarar ile satış

Satış fiyatı=Alış fiyatı - Zarar

S=A-Z ise S=A-[(A.x)/100]

Örnek: 120 TL’lik bir takım elbise yüzde 20 kar ile ne kadara satılır?

Önce kar oranını bulmalıyız.

120.(20/100) yani (120.20)/100 buradanda 2400/100

Kar=24 TL olur.

Satış fiyatı=Alış fiyatı + Kar

S=120+24=144 TL karlı satış

Örnek: 250 TL’lik bir cep telefonu yüzde 10 zarar ile ne kadara satılır?

Önce zarar oranını bulmalıyız.

250.(10/100) yani (250.10)/100 buradanda 2500/100

Zarar=25 TL olur.

Satış fiyatı=Alış fiyatı – Zarar

S=250-25=225 TL zararlı satış 

Faiz Problemleri 

F: alınan faiz

n: faiz yüzdesi

A: bankaya yatırılan ana para (kapital)

t: zaman

Yıllık faiz=(A.n.t)/100

Aylık faiz=(A.n.t)/1200

Günlük faiz=(A.n.t)/36000

Örnek: 24 TL yüzde kaç faizle 10 aylığına bankaya yatırılırsa 12 TL faiz getirir?

F=12 TL

A=24 TL

t=10 ay

n=?

F==(A.n.t)/1200

12=(24.n.10)/1200 (1200 karşıya çarpım olarak geçer)

14400=240n buradan her iki tarafı 240’a bölersek

n=60 çıkar.yani yüzde 60’tır.

Örnek: 1000 TL yüzde 3 faizle 3 yıllığına bankaya yatırılıyor.3 yıl sonra bankadan paranın hepsi çekiliyor.Ne kadar para çekilmiştir?

A=1000 TL

t=3 yıl

n=3

F=?

F==(A.n.t)/100

F=(1000.3.3)/100

F=9000/100 her iki taraf 100’e bölünürse

F=90 TL faiz getirir.

Bankadan 1000+90=1090 TL çekilir. 

Hareket Problemleri

x=yol

V=hız

t=zaman

Yol=(Hız) x (Zaman)

x=V.t

V=x/t

t=x/V

Ortalama hız=(toplam yol)/(toplam zaman)

Vort=(x1+x2+….+xn)/(t1+t2+…..+tn)

Hareketliler aynı doğrultuda ve aynı anda karşılıklı birbirine doğru hareket ediyorlarsa:

x=(V1+V2).t  (birbirine doğru demek zıt yön demek)

Hareketliler aynı anda ve aynı yöne doğru hareket ediyorlarsa:

Burada ikisinin arasında x mesafesi olacak. (V1 büyük V2’den)

x=(V1-V2).t

Hareketliler dairesel pistte aynı yerden zıt yönde hareket ederlerse t zaman sonra bir noktada karşılaşırlar.

Dairesel pistin çevresi x olsun.

t karşılaşma süresi

x=(V1+V2).t

Hareketliler dairesel pistte aynı yerden aynı yönde hareket ederlerse t zaman sonra bir noktada karşılaşırlar.

Dairesel pistin çevresi x olsun.(V1 büyük V2’den)

t karşılaşma süresi

x=(V1-V2).t

Örnek: Aralarındaki uzaklık 300 km olan A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda,birbirlerine doğru harekete başlıyorlar.Bu araçların saatteki hızları 80 km ve 70 km olduğuna göre kaç saat sonra karşılaşırlar?

x=(V1+V2).t

300=(80+70).t

300=150.t her iki taraf 150’ye bölünürse

t=2 saat olur.

Örnek: Aralarındaki uzaklık 120 km olan iki araç aynı anda ve aynı yönde harekete başlıyorlar.Arkadaki aracın saatteki hızı 75 km,öndeki aracın saatteki hızı 60 km’dir.Buna göre hızlı giden araç yavaş giden araca kaç saat sonra yetişir?

x=(V1-V2).t

120=(75-60).t

120=15.t her iki taraf 15’e bölünür.

t=8 saat olur.

Nehir Problemleri

Kayık akıntı ile aynı yönde hareket ediyorsa kayığın toplam hızı:

V=Vkayık + Vakıntı

Kayık akıntı ile zıt yönde hareket ediyorsa kayığın toplam hızı:

V=Vkayık - Vakıntı

x metre uzunluğundaki bir tren V hızıyla,y metre uzunluğundaki bir tüneli t sürede alıyorsa:

t: geçiş süresi

Geçiş süresince trenin aldığı yol:

x+y=V.t

Örnek: Bir nehirde akıntı yönünde giden kayığın toplam hızı 120 km/s, kayığın kendi hızı ise 80 km/s’dir.Buna göre akıntının hızı kaç km/s’dir?

V=Vkayık + Vakıntı

120=80+ Vakıntı

Vakıntı=40 km 

İşçi ve Havuz Problemleri

Birim zamanda yapılan iş veya dolan havuz üzerinden işlem yapılır.

Bir işin tamamı (işçi sayısı sabit tutularak) a saatte bitiyorsa, 1 saatte bu işin 1/a’sı biter.

(Havuz problemlerinde de aynı mantık vardır.)

Bir işin tamamını 1. işçi a, 2.işçi b saatte, ikisi birlikte x saatte bitirebiliyorsa:

(1/a)+(1/b)=(1/x)

Havuz dolduruluyorsa dolduran musluk için (+), boşaltan musluk için (-) işareti kullanılır.

Havuz boşaltılıyorsa dolduran musluk için (-), boşaltan musluk için (+) işareti kullanılır.

Bir işi üç işçi sırasıyla a,b,c günde yapabilmektedir.Üçü birlikte t gün çalıştıktan sonra 1. işçi işi bırakıyor.Diğer işçiler kalan işi x günde tamamlıyor.

t.(1/a+1/b+1/c)+ x.(1/b+1/c)=1

A musluğu havuzun tamamını tek başına a saatte dolduruyor.B musluğu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltıyor. İki musluk aynı anda açıldığında havuz t saatte dolarsa:

1/a-1/b=1/t

Örnek: Bir havuzu dolduran iki musluktan birincisi yalnız başına 6 saatte,ikincisi 3 saatte doldurmaktadır.İkisi birlikte açıkken havuz kaç saatte dolar?

(1/a)+(1/b)=(1/x)

1/6+1/3=1/x payda eşitlenirse

3/6=1/x buradanda  1/2 = 1/x sonuç x=2 saat olur.

Örnek: Bir işi Ahmet 12 saatte, Mehmet ise 60 saatte yapıyor.İkisi beraber 3 saat çalıştıktan sonra Ahmet işi bırakıyor.Mehmet kalan işi kaç saatte bitirir?

t.(1/a+1/b)+ x.(1/b)=1

3(1/12+1/60)+x.(1/60)=1

1/4+1/20+x/60=1 paydaları eşitlediğimizde

(18+x)/60=1

18+x=60 buradanda x=42 saat olur. 

Karışım Problemleri

Karışım oranı=(saf madde miktarı)/(tüm karışım miktarı)

Karışım yüzdesi=(karışım oranı).100

Yüzde x’lik a litre şeker su karışımı ile yüzde y’lik b litre şeker su karışımı karıştırılıyor.Karışımın yüzdesi:

Karışımın yüzdesi=[(x.a)+(y.b)]/(a+b)

Karışıma saf madde ilave edilirse yüzdesi 100 alınır.

Karışıma su ilave edilirse yüzdesi 0 alınır.

Karışımdan su buharlaştırılırsa yüzdesi 0 alınır ve çıkartılır.

Eklemeler toplanır,buharlaştırmalar çıkarılır.

Örnek: Şeker oranı yüzde 12 olan 10 litre çözelti ile şeker oranı yüzde 20 olan 6 litre çözelti karıştırılıyor.Buna göre oluşan karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Karışımın yüzdesi=[(x.a)+(y.b)]/(a+b)

Karışımın yüzdesi=[(12.10)+(20.6)]/(10+6)

Karışımın yüzdesi=240/16 buradan karışım yüzdesi=15 çıkar.

Örnek: Yüzde 40’lık 60 kğ tuzlu su karışımına kaç kğ tuz katalım ki yeni karışımın tuz oranı yüzde 60 olsun?

Karışımın yüzdesi=[(x.a)+(y.b)]/(a+b)

60=[(40.60)+(100.b)]/(60+b)

2400+100b=3600+60b

40b=1200 buradanda b=30 kğ tuz eklenmelidir.

Saat Problemleri

Akrep ile yelkovan arasındaki açının ölçüsü:

I (11.dakika-60.saat)/2 I

Örnek: Saat 8’i 25 geçiyor iken aradaki açı kaç derecedir?

I (11.dakika-60.saat)/2 I

I (11.25-60.8)/2 I = I (275-480)/2 I = 205/2=102,5 derece olur.

problemler

 


 

ÖRNEK SORU - Video